Wersja 1 (wersja autora zapamiętana z dzieciństwa).
Jak mówi legenda, Ben Daher był mędrcem, który dostarczył panującemu w Indiach radży zestaw do gry w szachy. W zamian zażądał od władcy, który chciał od niego te szachy kupić, zapłaty w postaci ryżu. Radża miał kłaść ziarna ryżu na kolejnych polach szachownicy według schematu: na pierwszym polu jedno ziarno, na drugim dwa, a na każdym kolejnym - dwa razy więcej ziaren niż na poprzednim. Władcy wydawało się, że to niewielka zapłata. Szybko się jednak okazało, że suma wszystkich tak ułożonych ziaren na 64 polach, to zbyt dużo nawet dla takiego bogacza jak on.
Wersja 2 (stworzona przez AI Gemini po zapytaniu o treść legendy o Ben Daherze).
Dawno, dawno temu, w Indiach, żył sobie niezwykle mądry mędrzec, który stworzył wspaniałą grę: szachy. Królowi tak bardzo spodobała się ta gra, że zaproponował mędrcowi wszystko, czego by sobie życzył. Ben Daher, skromny mędrzec, poprosił o ziarna pszenicy: jedno ziarno na pierwszym polu szachownicy, dwa na drugim, cztery na trzecim i tak dalej, podwajając liczbę ziaren na każdym kolejnym polu. Król roześmiał się, że to bardzo skromne życzenie, ale okazało się, że ta niewielka prośba była podstępem. Liczba ziaren potrzebnych do spełnienia życzenia była astronomiczna i znacznie przekraczała możliwości królestwa. Ta legenda pokazuje, jak matematyka może być niezwykle złożona i potężna.
Matematyka dla szachisty
Pola na diagramie obok zawierają wynik podstawienia do wzoru przedstawiającego funkcję 2 do potęgi (n-1). Podstawą jest liczba 2, bo na każdym z kolejnych pól jest dwa razy więcej ziaren niż na poprzednim. W wykładniku występuje natomiast numer pola n, na którym kładziemy ziarna. W tym przypadku, na szachownicy polem numer 1 jest pole o adresie a1 (położono na nim 1 ziarno czyli 20). Funkcja potęgowa to bardzo szybko rosnąca funkcja i liczba 63 w ostatecznym wykładniku wystarczy, aby uzyskać wynik tak ogromny, który wręcz nie mieści się nam w głowie.
Wzór na ilość ziaren zboża na konkretnym polu: x=2n-1
x - liczba ziaren na polu numer n.
n - numer pola szachownicy, na której położono ziarna (od 1 do 64).
2 - współczynnik wskazujący, ile razy kolejna liczba ziaren jest większa od ilości ziaren na poprzednim polu.
Policzmy
1+2+4+8+16+32+64+128+256+512+(...)+9223372036854775808=18446744073709551615.
Czyli na szachownicy powinno być ponad ponad 18 trylionów ziaren (18 trylionów 446 biliardów 744 biliony 73 miliardy 709 milionów 551 tysięcy 615 ziaren). Jeśli założymy, że jedno ziarenko ma masę 0,03 g - to łatwo obliczyć ile waży całość ryżu „umieszczonego” na szachownicy. Jest to ponad 553 miliardy ton (ok. 1000 razy więcej niż wynosi cała produkcja światowa).
Gdzieś w sieci znalazłem informację, że do przechowania takiej ilości potrzebny jest spichlerz o wysokości 4 m, szerokości 10 m i długości 300 000 000 km (jest to prawie 7500 razy więcej niż wynosi długość równika Ziemi i ponad 780 razy więcej niż wynosi odległość Ziemi od Księżyca).
Mój syn policzył, że tym ziarnem można wypełnić ponad 4,5 miliarda (4,5 000 000 000) basenów (niecka o wymiarach basenu olimpijskiego). Obecnie na świecie zbiera się ok. 500 milionów ton ryżu, a Indie produkują nieco ponad 195 mln ton. Rozumiesz już teraz dlaczego indyjski radża nie mógł spełnić warunku Ben Dahera.
Przeprowadźmy taki oto eksperyment myślowy. Wyobraź sobie, że zatrudniasz się na okres 64 dni. Pierwszego dnia pracy zarobiłeś 1 gr, drugiego dnia 2 gr, trzeciego 4 gr i dalej tak samo, jak w schemacie z zia-
renkami ryżu na szachownicy. Każdy kolejny dzień przynosi ci wypłatę 2x większą niż dzień poprzedni. Do 15 dnia zarobiłeś 16384 gr, czyli 163 zł i 84 gr. Kwota nie wygląda imponująco. Ale w następnych dniach twoje wypłaty zaczynają gwałtownie, wręcz lawinowo rosnąć. Ostatniego dnia pracy na twoim koncie uzbierała się potężna kwota:184 467 470 707 370 955 zł i 15 gr!
Innymi słowy zarobiłeś ponad 184 biliardy złotych.
